Di quanti motori dotare una barca

Una barca è in grado di navigare quando almeno la metà dei motori risulta funzionante. Supponiamo che ogni motore si possa guastare con probabilità $p$ in modo indipendente dagli altri. Per quali valori di $p$ un traghetto con quattro motori ha maggior probabilità di navigare di un traghetto con due motori?

Soluzione

L'idea è di trovare per quali $p$ si ottiene che

\mathbb{P}(\text{navigare avendo 4 motori})\geq \mathbb{P}(\text{navigare avendo 2 motori})

ovvero

\mathbb{P}(\text{si rompono 0, 1, o 2 motori su 4})\geq \mathbb{P}(\text{si rompe 0 o 1 motore su 2})

Possiamo modellare in generale lo scenario in cui ad una barca con $n$ motori se ne rompano $k$ impiegando una variabile aleatoria $X\sim\text{Binomiale}(n,p)$ la cui densità

p(X=k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}

descrive la probabilità che di ottenere $k$ successi (la rottura di $k$ motori) nell'esecuzione di $n$ esperimenti aleatori (l'avere $n$ motori a disposizione) ciascuno dei quali può manifestare un successo con probabilità $p$ . In questo modo, il calcolo (2) si converte in

\mathbb{P}(\text{Binomiale}(4,p) \leq 2) \geq \mathbb{P}(\text{Binomiale}(2,p) \leq 1) \\ F_{\text{Binomiale}(4,p)}(2) \geq F_{\text{Binomiale}(2,p)}(1)

dove $F_X(t)$ è la funzione di ripartizione (cumulative distribution function, da cui la cdf che si vede nel codice) che descrive $\mathbb{P}(X\leq t)$ .

using Statistics, Distributions
using Plots
ps = range(0,1,length=1000)
p_navigare(k,p) = cdf(Binomial(k,p),div(k,2))

plot(ps,p_navigare.(2,ps), label="2 motori")
plot!(ps,p_navigare.(4,ps), label="4 motori")

Questa è quindi la formulazione più comoda per il contesto informatico; altrimenti a mano converrebbe sommare i vari valori puntuali (cioè $\mathbb{P}(X=k)$ ) e lavorare da quelli la disequazione. Procedendo in questo modo infatti otterremo

\mathbb{P}(\text{si rompono 0, 1, o 2 motori su 4})\geq \mathbb{P}(\text{si rompe 0 o 1 motore su 2}) \\ 1-\mathbb{P}(\text{si rompono 3 o 4 motori}) \geq 1-\mathbb{P}(\text{si rompono entrambi i motori}) \\ 1-{4\choose 3}p^3 (1-p)^1-p^4 \geq 1 - p^2 \\ -4p^3+4p^4-p^4 +p^2 \geq 0 \\ p^2(3p^2-4p+1)\geq 0 \\ 3p^2-4p +1 \geq 0 \implies p\in\left[0,\frac{1}{3}\right]

Si potrebbero infine anche confrontare più motori ma l'idea è sempre la stessa: per $p$ basse (i motori sono affidabili) sono avvantaggiate le barche con molti motori; per $p$ alte (un motore si guasta facilmente) diventa conveniente passare ad un modello con 2 soli motori, avendo in questo modo "meno occasioni" di manifestare un guasto.

plot(ps,p_navigare.(2,ps), label="2 motori")
plot!(ps,p_navigare.(4,ps), label="4 motori")
plot!(ps,p_navigare.(6,ps), label="6 motori")
plot!(ps,p_navigare.(8,ps), label="8 motori")
plot!(ps,p_navigare.(10,ps), label="10 motori")

Concludiamo con una simpatica gif che mostra l'andamento delle varie probabilità, con anche un effetto Matrix/zoom nella parte centrale più interessante.

ps1 = range(0.0, 0.3, length=500)  # less dense before 0.3
ps2 = range(0.3, 0.5, length=2000) # denser in [0.3, 0.5]
ps3 = range(0.5, 1.0, length=500)  # less dense after 0.5
ps = unique(vcat(ps1, ps2, ps3))

ys = [p_navigare.(n, ps) for n in 2:2:10]
labels = string.(collect(2:2:10)," motori")
colors = [:blue, :green, :red, :orange, :purple]

@gif for i in 1:length(ps)
    plt = plot(dpi=300)
    for j in 1:length(ys)
        plot!(ps[1:i], ys[j][1:i], label=labels[j], color=colors[j])
    end
end every 10

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Eccoci.

Di quanti motori dotare una barca

Soluzione